Je gooit tien keer met een dobbelsteen

Binomiaalcoëfficiënten (vervangt MW VWO bovenbouw B1 deel 2, §S4.1 – §S4.4)
© Ivo Claus, Nijmeegse Scholengemeenschap Groenewoud, 2005
Pagina 1 van 16
Je gooit tien keer met een dobbelsteen. Bereken de kans dat je 0 keer een zes gooit (en dus 10 keer
niet).
Je gooit tien keer met een dobbelsteen. Bereken de kans dat je 1 keer een zes gooit (en dus 9 keer
niet).
Nog eentje dan:
Je gooit tien keer met een dobbelsteen. Bereken de kans dat je 2 keer een zes gooit (en dus 8 keer
niet).
Binomiaalcoëfficiënten (vervangt MW VWO bovenbouw B1 deel 2, §S4.1 – §S4.4)
© Ivo Claus, Nijmeegse Scholengemeenschap Groenewoud, 2005
Pagina 2 van 16
Erik gooit 40 keer met een dobbelsteen. Hij moet de kans berekenen dat hij 10 keer een zes gooit.
Waarom kost die berekening veel tijd/moeite?
Binomiaalcoëfficiënten (vervangt MW VWO bovenbouw B1 deel 2, §S4.1 – §S4.4)
© Ivo Claus, Nijmeegse Scholengemeenschap Groenewoud, 2005
Pagina 3 van 16
We moeten een manier bedenken om dit soort dingen te tellen. Eerst eens kijken wat we met “dit
soort dingen” bedoelen.
Even terug naar de vraag
“Je gooit tien keer met een dobbelsteen. Bereken de kans dat je 2 keer een zes
gooit (en dus 8 keer niet).”
Een voorbeeld van 2 keer een zes gooien is dit: NNN6NNN6NN.
De kans daarop is  65    61  . De moeilijkheid zit hem erin, dat dit niet de enige manier/volgorde is.
Een andere volgorde is 66NNNNNNNN.
8
2
De kans daarop is ook gelijk aan  65    61  . Sterker nog: elke andere volgorde met twee zessen en
acht N’en heeft diezelfde kans. Het draait er dus om: hoeveel volgordes zijn er mogelijk om twee
zessen in een groep van in totaal tien zessen en N’nen te plaatsen? Je hebt al berekend dat het
8
2
antwoord 45 is. Dus het antwoord op de vraag is 45   65    61   0,2907
8
2
Tien Smilies: , er lachen er twee. Joost vraagt zich af hoeveel volgordes er
mogelijk zijn om twee lachende smilies in een groep van in totaal tien lachende en treurende smilies
te plaatsen.
Hoeveel volgordes zijn er mogelijk en waarom hoeven jullie daar niet lang over na te denken?
Binomiaalcoëfficiënten (vervangt MW VWO bovenbouw B1 deel 2, §S4.1 – §S4.4)
© Ivo Claus, Nijmeegse Scholengemeenschap Groenewoud, 2005
Pagina 4 van 16
Je ziet dat de vraag met de smilies en de vraag met de zessen in feite op hetzelfde neerkomen. In de
wiskunde probeer je “zulke dingen” als één ding te zien. Dat gaat zo:
Je hebt een rijtje van tien symbolen. Voor elk van de tien symbolen heb je twee mogelijkheden. Het
ene symbool moet twee keer voorkomen (en het andere dus automatisch tien minus twee is acht
keer). Op hoeveel manieren kan dit?
Het antwoord is dus telkens 45.
Iets wiskundiger gezegd: Tien keer kiezen uit twee mogelijkheden, waarbij je twee keer voor de ene
mogelijkheid moet kiezen, dat kan op 45 manieren.
Wiskundigen vinden het makkelijk om daar een naampje aan te geven. Het is geworden:
102 .
Vijf opmerkingen hierover:
a) Spreek dit uit als “10 boven 2.”
10
b)
2 heet een binomiaalcoëfficiënt. Helemaal op het einde van deze opdrachtbladen leer je
waarom (is geen SE-stof; niet verplicht dus).
10
c) Blijkbaar geldt: 2  45


10
d) Er zit geen deelstreep tussen, zoals bij een breuk, dus niet   !
2
e) Het totaal aantal keer kiezen staat boven, het aantal keer dat je voor de ene mogelijkheid
kiest, staat onder.
Vul in:
10
1  ...
 
 24  ...
200   ...
 
201   ... 1920  ...
 0n   ...
  
n
n
10
10
Leg ook uit waarom 1  9 en dan ook maar meteen waarom k  n  k
1n  ...
Binomiaalcoëfficiënten (vervangt MW VWO bovenbouw B1 deel 2, §S4.1 – §S4.4)
© Ivo Claus, Nijmeegse Scholengemeenschap Groenewoud, 2005
Weer terug naar de vraag
“Je gooit tien keer met een dobbelsteen. Bereken de kans dat je 2 keer een zes
gooit (en dus 8 keer niet).”
Leg uit waarom je de kans als volgt kunt berekenen:
2
8
10
P(twee keer 6)  2   61    65 

Terug naar de vraag van Erik:
“Je gooit 40 keer met een dobbelsteen. Bereken de kans dat je 10 keer een zes
gooit.”
Met welke “formule” (zoals in de vorige vraag) kun je uitrekenen hoe groot deze kans is?
Pagina 5 van 16
Binomiaalcoëfficiënten (vervangt MW VWO bovenbouw B1 deel 2, §S4.1 – §S4.4)
© Ivo Claus, Nijmeegse Scholengemeenschap Groenewoud, 2005
Pagina 6 van 16
 
40
Het is dus nu de vraag hoe je een binomiaalcoëfficiënt als 10 uitrekent.
Daarvoor moet je wel even wat werk verzetten.
Bereken:
 01  ...
20  ...
03  ...
 04  ...
 05  ...
60  ...
22  ...
33  ...
 44  ...
55  ...
66  ...
en
11  ...
en algemener:
 0n   ...
 nn  ...
Binomiaalcoëfficiënten (vervangt MW VWO bovenbouw B1 deel 2, §S4.1 – §S4.4)
© Ivo Claus, Nijmeegse Scholengemeenschap Groenewoud, 2005
Pagina 7 van 16
Je kunt (door alle mogelijkheden op te schrijven) nagaan:
 24   6
53  10
 43  4
Nog even de betekenis herhalen van deze binomiaalcoëfficiënten:
 53 = Het aantal volgordes waarbij je vijf keer moet kiezen uit twee mogelijkheden, waarbij je drie
keer voor de ene mogelijkheid moet kiezen.
 24  = Het aantal volgordes waarbij je vier keer moet kiezen uit twee mogelijkheden, waarbij je twee
keer voor de ene mogelijkheid moet kiezen.
 43  = Het aantal volgordes waarbij je vier keer moet kiezen uit twee mogelijkheden, waarbij je drie
keer voor de ene mogelijkheid moet kiezen.
Je ziet dat :
5
4
4
3 = 2 + 3 .
  
Dat kun je ook “bewijzen” zonder te weten dat deze binomiaalcoëfficiënten gelijk zijn aan 10, 6 en 4.
Doe dat zelf. Gebruik hiervoor de onderstaande raadselachtige tekening. Het is een soort
boomdiagram, maar dan wat samengepakt.
Het gaat hier om een voorbeeld met smilies, dus:
Vijf Smilies: , er lachen er drie.
 53
1e smiley

2e & 3e & 4e & 5e smiley
 24 

 43 
Binomiaalcoëfficiënten (vervangt MW VWO bovenbouw B1 deel 2, §S4.1 – §S4.4)
© Ivo Claus, Nijmeegse Scholengemeenschap Groenewoud, 2005
  
5
4
4
Je hebt bewezen dat 3 = 2 + 3 .
   
Pagina 8 van 16
10
9
9
Op precies dezelfde manier kun je laten zien dat bijvoorbeeld 7 = 6 + 7 . Et cetera enzovoorts.
    
n
.........
.........
Maak er een formule van: k = ......... + ......... .
Binomiaalcoëfficiënten (vervangt MW VWO bovenbouw B1 deel 2, §S4.1 – §S4.4)
© Ivo Claus, Nijmeegse Scholengemeenschap Groenewoud, 2005
Pagina 9 van 16
Oké, wat heb je tot nu toe gevonden:
- Voor elke gehele positieve waarde van n geldt:
0n  1
 nn  1
- en de formule:
n
n 1
n 1
k = k 1 + k
    

2
Leg uit dat je met deze gegevens kunt uitrekenen hoeveel 1 is (en reken het dan ook uit).
Laat nu ook zien dat je de volgende getallen achtereenvolgens kunt uitrekenen (en reken ze dan ook
uit):
......
13  ......
......    ......   ...  ...  ...
......
23  ......
......    ......  ...  ...  ...
......
 41   ......
......    ......   ...  ...  ...
......
24  ......
......    ......   ...  ...  ...
......
43  ......
......    ......   ...  ...  ...
Binomiaalcoëfficiënten (vervangt MW VWO bovenbouw B1 deel 2, §S4.1 – §S4.4)
© Ivo Claus, Nijmeegse Scholengemeenschap Groenewoud, 2005


Pagina 10 van 16

n
n
0
Een afspraak is dat 0  1 (klopt ook mooi met de formules 0  1 en n  1).
Vul in:
 04  ...
03  ...
20  ...
 41   ...
 01  ...
13  ...
00 1
 21  ...
 24  ...
11  ...
23  ...
22  ...
 43  ...
33  ...
 44  ...
Deze driehoek (die oneindig ver doorloopt) heet de Driehoek van Pascal. Heb je hem eerder ergens
gezien?
Binomiaalcoëfficiënten (vervangt MW VWO bovenbouw B1 deel 2, §S4.1 – §S4.4)
© Ivo Claus, Nijmeegse Scholengemeenschap Groenewoud, 2005
Pagina 11 van 16
Deze pagina mag je overslaan, als je in tijdnood gekomen bent.
 
40
Het is nogal een karwei om de hele driehoek van Pascal in te vullen totdat je bij 10 bent. Daarom

n
is er ook een directe formule bedacht om de binomiaalcoëfficiënt k uit te rekenen.
Dit ontdek je zelf, aan de hand van het volgende voorbeeld:
5
5
Vijf Smilies: , er lachen er drie. Dat kan op 3 manieren. We gaan 3 uitrekenen.
Er zijn vijf smilies in te vullen, op vijf plekken.

1
2
3
4

5
Kies eerst waar je de eerste lachende smiley neerzet. Er zijn vijf mogelijke plekken.
Kies daarna waar je de tweede lachende smiley neerzet. Er zijn dan nog vier mogelijkheden.
Kies tenslotte waar je de derde lachende smiley neerzet. Er zijn nog drie mogelijkheden.
5!
In totaal is dat dus 5  4  3 mogelijkheden. Dat kun je ook schrijven als
. Leg uit waarom.
2!
Maar er is iets fout gegaan. Hieronder zie je vier van die zestig mogelijkheden die hetzelfde rijtje
smilies opleveren (namelijk het rijtje ) :
Eerste lachende smiley op 2, tweede lachende smiley op 5, derde lachende smiley op 3.
Eerste lachende smiley op 5, tweede lachende smiley op 2, derde lachende smiley op 3.
Eerste lachende smiley op 2, tweede lachende smiley op 3, derde lachende smiley op 5.
Eerste lachende smiley op 3, tweede lachende smiley op 5, derde lachende smiley op 2.
Dit zijn ze nog niet allemaal. Geef de twee ontbrekende volgorden.
Hoe had je van tevoren kunnen bedenken dat er zes volgorden waren die het rijtje 
opleverden?
Binomiaalcoëfficiënten (vervangt MW VWO bovenbouw B1 deel 2, §S4.1 – §S4.4)
© Ivo Claus, Nijmeegse Scholengemeenschap Groenewoud, 2005
Pagina 12 van 16
Deze pagina mag je overslaan, als je in tijdnood gekomen bent.
Blijkbaar moet je
5!
5! 3! 5! 1
5!
nog delen door 3! . Dat kun je ook schrijven als
.
:   
2!
2! 1 2! 3! 2! 3!
Dus:
53  2!5! 3!
Deze kan algemener!
 kn   (n  nk!)! k !
Leg uit waarom deze formule klopt.
Binomiaalcoëfficiënten (vervangt MW VWO bovenbouw B1 deel 2, §S4.1 – §S4.4)
© Ivo Claus, Nijmeegse Scholengemeenschap Groenewoud, 2005
Pagina 13 van 16
Op de vorige pagina was de conclusie:
 kn   (n  nk!)! k !
 
40
Daarmee is 10 uit te rekenen. Doe dat (met je rekenmachine natuurlijk). Denk aan haakjes!
 
40
Maar de rekenmachine maakt het je nóg gemakkelijker. Je kunt 10 namelijk ook zó uitrekenen:
(in RUN-menu):
40 OPTN F6 PROB nCr 10 EXE

6
Bereken nu op drie manieren 2
Manier 1: met de driehoek van Pascal
n!
n
Manier 2: met de formule k 
(zonder rekenmachine!)
(n  k )! k !
Manier 3: met de nCr -knop op je rekenmachine

Binomiaalcoëfficiënten (vervangt MW VWO bovenbouw B1 deel 2, §S4.1 – §S4.4)
© Ivo Claus, Nijmeegse Scholengemeenschap Groenewoud, 2005
Pagina 14 van 16
Tenslotte weer terug naar de vraag van Erik:
“Je gooit 40 keer met een dobbelsteen. Bereken de kans dat je 10 keer een zes
gooit.”
Bereken het maar. Rond je antwoord af op vier decimalen.
Beantwoord ook de volgende vragen (kies de manier die je het fijnst vindt) en rond telkens af op vier
decimalen.
A) 15% van de mensen is linkshandig. Aan 50 mensen op straat wordt gevraagd of ze linkshandig
zijn. Bereken de kans dat er precies 6 linkshandig zijn.
B) Een stoplicht staat 70% van de tijd op rood. In het komende jaar zul je er 20 keer langs
moeten. Bereken de kans dat hij 15 keer op rood zal staan.
C) Je gooit 20 keer met een muntstuk. Bereken de kans dat hij 13 keer op “kop” valt.
Bedenk tenslotte zelf nog drie van zulke vragen en geef ook het antwoord.
Het enige wat je nog moet doen uit het boek, is paragraaf 4.5. Daarna eventueel de tussentoets.
Einde!
(Nou ja, er zijn nog twee bonuspagina’s)
Binomiaalcoëfficiënten (vervangt MW VWO bovenbouw B1 deel 2, §S4.1 – §S4.4)
© Ivo Claus, Nijmeegse Scholengemeenschap Groenewoud, 2005
Deze pagina is extra. Dit behoort niet tot de SE-stof.
Schrijf zonder haakjes en zo kort mogelijk:
(a  b)2
(a  b)3
(a  b)4
Pagina 15 van 16
Binomiaalcoëfficiënten (vervangt MW VWO bovenbouw B1 deel 2, §S4.1 – §S4.4)
© Ivo Claus, Nijmeegse Scholengemeenschap Groenewoud, 2005
Pagina 16 van 16
Deze pagina is extra. Dit behoort niet tot de SE-stof.
Je ziet dat (a  b)4  a4  4a3b  6a2b2  4ab3  b4 .
Ofwel:
(a  b)4 1a4  4a3b  6a2b2  4ab3 1b4
Je ziet dat bij elke term de exponent bij de a één omlaag gaat, en de exponent bij de b één omhoog.
De som van de exponenten blijft daardoor de hele tijd 4.
De getallen voor de a’s en b’s noem je coëfficiënten. Herken je ze uit de driehoek van Pascal?
Voorspel eerst, zonder al die algebra, wat zonder haakjes (a  b)5 is.
En probeer nu eens een formule te maken voor (a  b)n .
a  b is een tweeterm (er worden twee termen bij elkaar opgeteld). Een moeilijk woord voor
tweeterm is binomium. Nu begrijp je wel waarom binomiaalcoëfficiënten aan hun naam komen.
Kun je de formule voor (a  b)n die je hebt bedacht, bewijzen?
Hint: probeer eerst eens de coëfficiënten in (a  b)4 1a4  4a3b  6a2b2  4ab3 1b4 te verklaren.
n
Hint 2: k = Het aantal volgordes waarbij je n keer moet kiezen uit twee mogelijkheden, waarbij je
k keer voor de ene mogelijkheid moet kiezen.
