Onderwerp 1: storingstheorie in de klassieke mechanica. Veel

Onderwerp 1: storingstheorie in de klassieke mechanica.
Begeleider: R.J.Kooman
Veel systemen in de klassieke mechanica ku nnen worden beschreven met een
Hamiltoniaan, die een functie H(q1,…,qn,p1,…,pn) van n gegeneraliseerde
coördinaten q1,…,qn en de gegeneraliseerde impulsen p1,…,pn is. In het geval dat
het systeem met Hamiltoniaan H0 volledig integreerbaar is, en een ander system
een Hamiltoniaan H heeft die “dicht bij H0 ligt”, kunnen we het gedrag van het
systeem met Hamiltoniaan H bestuderen m.b.v. (klassieke) storingstheorie.
Voorbeelden zijn de anharmonische oscillator en het drielichamenprobleem in de
hemelmechanica. In het onderzoek zullen eerst kanonieke transformaties, de
Hamilton-Jacobivergelijking en de tijdsafhankelijke en tijdsonafhankelijke
storingstheorie worden bestudeerd en uiteindelijk zullen deze op een aantal
interessante systemen worden toegepast.
Voor dit onderzoek is enige voorkennis van de klassieke mechanica nuttig.
Lit.: H.Goldstein, C.P.Poole, J.L.Safko: Classical Mechanics.
Onderwerp 2: eigenwaarden en eigenvectoren van verstoorde matrices.
Begeleider: R.J.Kooman
Doel van het onderzoek is om na te gaan wat we kunnen zeggen van de
eigenwaarden en eigenvectoren van een nxn-matrix A + ε P als A
diagonalizeerbaar is, de eigenwaarden en eigenvectoren van A bekend zijn en ε P
een (kleine) perturbatie matrix is. Een resultaat in deze richting is dat als de
eigenwaarden a1,…,an van A alle verschillend zijn en x1,…,xn een basis van
(genormalizeerde) eigenvectoren is, en ε is voldoende klein, dan heeft A + ε P
eigenwaarden b1,…,bn en genormalizeerde eigenvectoren y1,…,yn zodanig dat |aj
– bj| = O(ε|P|) en |yj – xj| = O(ε|P|).
Voor dit onderzoek is geen specialistische voorkennis vereist, behalve de stof van
de colleges lineaire algebra 1 en 2.