2 = √2 - Megawetenschap.nl

Het bewijs dat
√ 2 irrationaal is, dus dat √ 2 géén breuk is.
(bewijs uit het ongerijmde)
we veronderstellen dat √ 2 wél een rationaal getal is en dus te schrijven als het quotient
van twee gehele getallen; a én b.
Van die twee gehele getallen zoeken we alle gemeenschappelijke delers, en vervolgens
delen we zowel teller als noemer door die delers. Het resultaat is dat de wortel uit 2 gea
schreven kan worden als , waarbij a en b gehele getallen zijn zonder gemeenschappeb
lijke delers. De grootste gemene deler van a en b dan 1; anders gezegd: er is geen gemeenlijke deler groter dan 1.
√ 2 = a <=> √ 2 = a => a = b √ 2
b
a = b √2
2
2
2
1
b
(beide kanten kwadrateren)=>
2
2
a 2 = 2b 2
2
a = 2b : als b oneven is, is a even; als b even is, zal a ook even zijn; dus is a
altijd een even getal.
2
a 2 is dus een even getal, dus is a dat ook;
want elke kwadraat van een oneven geheel getal is altijd oneven. Dus kan a zelf niet oneven
zijn en is a dan altijd even.
a is even, dus je kunt zeggen dat a twee keer een ander geheel getal p is: a = 2p
Daaruit volgt weer : 2b2 = a 2 = (2p)2 = 4p 2 <=> 2b 2 = 4p2 => b 2 = 2p 2 .
(analoog aan boven:)
b2 = 2p2 : als p 2 oneven is, zal b 2 even zijn; als p 2 even is, zal b2 ook even zijn; dus
is b 2 altijd een even getal.
b2 is dus een even getal, dus is b dat ook;
want elke kwadraat van een oneven geheel getal is altijd oneven. Dus kan b zelf niet oneven
zijn en is b altijd even.
Zowel a als b zijn even gehele getallen en bijgevolge deelbaar door 2. Hieruit volgt: de
grootste gemeenschappelijke deler van a en b is groter dan 1 (groter dan 2). Dit is in tegenspraak
met onze keuze van a en b, die geen gemeenschappelijke deler hebben.
Onze veronderstelling, dat √ 2 rationaal zou zijn was dus verkeerd en dus is bewezen dat √ 2
irrationaal is. Een getal is of rationaal, of irrationaal; m.a.w. een getal is of een verhouding
van twee gehele getallen of niet.
NB: als a en b aan elkaar gelijk zouden zijn, zou de ggd inderdaad gelijk aan 1 zijn. Maar dan
zou √ 2 gelijk zijn aan 1. Dat is onzin, want 1 2 =1 , en niet 2.